实变函数1 -- 微积分基本定理
上海交通大学刘成杰实变函数课堂笔记
微积分基本定理（牛顿莱布尼茨公式）： 1. \(F'(x) = f(x)\) 则 \(\int_a^b f(x) = F(b) - F(a).\) 2. \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt = f(x), x \in [a,b].\) 要使得牛莱公式成立，对\(f,F\)实际上有额外的附加条件。
回顾Riemannian积分 对于一个积分\(\int_a^b f(x) dx\): 1. 划分 \(I: a=x_0 < x_1 <...<x_n=b, \Delta(I) = \underset{1 \le i \le n}{\max}|x_i - x_{i-1}| = \max \Delta x_i.\) 2. 取黎曼和 \(S(I, f) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i, \xi \in [x_{i-1}, x_i].\) 3. 取极限 \(\lim_{\Delta(I) \rightarrow 0}S(I, f).\)
那么如何判断一个函数是否是黎曼可积？有如下三个判定条件 1. \(f\)的上下积分相等。 2. \(\forall \epsilon > 0.\) 存在划分\(I\)使得\(S(I) - s(I) < \epsilon.\)其中\(S\)表示达布上和，\(s\)表示达布下和。该命题等价于\(\sum_i w_i\Delta x_i < I.\) 其中\(w_i\)表示区间\([x_{i-1}, x_i]\)上的振幅。 3. \(\forall \epsilon > 0, \forall \sigma > 0, \exists I, s.t. I_1 = \{i: w_i > \epsilon\} \subset I, \sum_{i\in I_1} \Delta x_i< \sigma.\) 即振幅较大的区间长度加起来很小。
函数连续性与R-可积的关系： \[ f \ \text{连续} \Rightarrow f \ \text{R-可积} \] 但是反之不成立。
反例 1：黎曼函数\(f(x)\) \[ f(x) = \left\{ \begin{aligned} &0, & &x \in [0,a]\backslash \mathbb{Q}\\ &\frac{1}{q}, & &x \in [0,a] \cap \mathbb{Q}, x = p/q \end{aligned} \right. \] 该函数在\([0,1]\backslash \mathbb{Q}\)连续但是在\([0,1]\cap\mathbb{Q}\)间断并且是R-可积的。
反例 2：存在\(F: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\)处处可导且\(F'\)有界但是\(F'\)仍不为R-可积的函数。
命题：
若\(F\)为有界变差函数且\(F' = f,\) 则\(\int_a^b f(x) = F(b) - F(a).\)
但是当我们考虑Lebesgue积分的条件时，情况会大大改善
定理：
- 若\(F'\)存在且有界，则\(F'\)一定lebesgue可积，且\(\int_a^b F'(x) = F(b) - F(a).\)
- \(f\) 为Lebesgue可积，则\(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt = f(x),\) 在去掉一个零测集的意义下。
R可积的函数与连续函数的差距在于：要求不连续点为零测集。 但是Lebesgue积分同样有困难，在于如何去衡量集合的长度。