实变函数2 -- 集合论基础
上海交通大学刘成杰实变函数课堂笔记
集合的定义：满足一定性质的事物的集合，其中的事务称为元素，空集为\(\phi.\)
幂集的定义：对于集合\(A\), 定义其幂集为\(2^A\) 为所有子集的集合。
集合的运算：交、并、差、\(\Delta\). 其中\(A \Delta B = (A - B)\cup)(B-A).\)
特别地： 记\(\Lambda\)为指标集，则一族集合为\(\{A_{\lambda}: \lambda \in \Lambda\}.\) 相对应的，可以定义任意并\(\underset{\lambda \in \Lambda}{\cup}\)和任意交\(\underset{\lambda \in \Lambda}{\cap}.\)
定义：
对于一列集合\(\{A_n\}_{n=1}^{\infty}:\) 1. \(\underset{n}{\lim \sup} A_n := \{x: \text{存在无穷多个}n, s,t. x \in A_n\}.\) 2. \(\underset{n}{\lim \inf} A_n := \{x: \text{存在有限个}n, s,t. x \notin A_n\}.\)
Proposition: \(\underset{n}{\lim \inf} A_n \subset \underset{n}{\lim \sup} A_n.\)
Proposition: \(\underset{n}{\lim \inf} A_n = \overset{\infty}{\underset{m = 1}{\cup}}\overset{\infty}{\underset{n = m}{\cap}} A_n, \subset \underset{n}{\lim \sup} A_n = \overset{\infty}{\underset{m = 1}{\cap}}\overset{\infty}{\underset{n = m}{\cup}} A_n\)
定义： 如果\(\underset{n}{\lim \inf} A_n = \underset{n}{\lim \sup} A_n.\) 则成\(\{A_n\}\)有极限，记作\(\lim_n A_n.\)
集合的势（基数）
定义： 若两个集合间存在一个双射（一一对应），则称A和B有相同的基数（势），记作\(A \sim B.\)
定义： 若\(A\)和\(B\)不等势，但\(\exists B* \subset B,\) s.t \(A \sim B^*.\) 则称\(A\)的基数小于\(B\)的基数。等价于存在从\(A\)到\(B\)的单射。
定义： 若存在\(A\)到\(B\)的单射，记作\(|A| < |B|.\)
定理：（Schroder–Bernstein theorem) 若存在\(A\)到\(B\)的单射和\(B\)到\(A\)的单射，则\(A\sim B.\)
证明：[[TODO]]