实变函数3 -- 可列集和连续统
上海交通大学刘成杰实变函数课堂笔记
Proposition：设有集合\(A, B,\) A为可列集。
- 若\(B\)为有限集，则\(A \cup B, A - B\)可列。
- \(A_1, ... A_m\)为可列集，\(\overset{m}{\underset{i=1}{\cup}} A_i\)为可列集。
- \(B\)为无穷集，则\(\exists B^* \subset B, s.t. \ B*\)为可列集。
- \(B\)为无穷集，则\(B \cup A \sim B.\)
- \(B\)为无穷集 iff \(\exists B^* \subset B, s.t. B^* \sim B.\)
有理数集，实数集的势：
Proposition:
- \(\mathbb{Q} \sim \mathbb{N}.\)
- 可列个可列集的并仍为可列集。
- 对集合\(A\)及其幂集\(2^A,\) 有\(2^A > A.\)
- \(\mathbb{R}\sim[0,1]\sim(0,1]\sim[0,1)\sim(0,1).\)
- \(2^{\mathbb{N}} \sim \mathbb{R}.\)
Theorem: \(\mathbb{R}\)不可列.
proof:[[TODO]]
Corollary: 1. 代数数（整系数多项式的根）可列。 2. 超越数要比代数数多得多。
Hilbert 第一问题：连续统假设是否能够被证明？
连续统假设： \(\aleph_0\)为可列集的势， \(c\)为连续统的势。则有 \[ c = \aleph_1, \] 即不存在集合\(A\), 使得\(\aleph_0 < |A| < c.\)