实变函数4 -- 点与集合的关系
上海交通大学刘成杰实变函数课堂笔记
定义：开集，闭集 1. 称集合\(A\)为开集若\(\forall x \in A, \exists r > 0, s.t. B_r(x) \subset A.\) 2. 称集合\(A\)为闭集若\(A^c\)为开集。
在\(\mathbb{R}^d\)中全集和空集是唯二既开又闭的集合
Proposition: 1. 开集的任意并，有限交为开集。 2. 闭集的任意交，有限并为闭集。
反例：\(\overset{\infty}{\underset{n=1}{\cap}}(x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}) = \{x\}.\) 说明了无限交是不行的。
点与集合的关系：
定义：
- 若\(\exists r>0, s.t. B_r(x) \subset A\), 称\(x\)为\(A\)的内点。
- 若\(\exists r>0, s.t. B_r(x) \subset A^c\), 称\(x\)为\(A\)的外点。
- 若\(\forall r>0, B_r(x) \cap A \neq \phi, B_r(x) \cap A^c \neq \phi\), 称\(x\)为\(A\)的边界点。
- 若\(\forall r > 0, B_r(x) \cap A\)是无穷集， 称\(x\)是\(A\)的聚点。
- 若\(\exists r > 0, s.t. B_r(x) \cap A = \{x\}\), 称\(x\)是\(A\)的孤立点。
\(E^\circ\) 为\(E\)中内点的集合。 \(\partial E\)为\(E\)边界点的集合。 \(E'\)为\(E\)中聚点的集合，称为导集。
Proposition: \(A' \subset A^\circ \cup \partial A.\)
定义： \(A \subset \mathbb{R}^d,\) 称\(\bar{A} = A \cup A'\)为\(A\)的闭包。
Proposition: 1. \(\bar{A}\)是包含\(A\)的最小闭集。 2. \(\bar{A} = A \Leftrightarrow A\) 是闭集。
定义： 1. 若\(\forall x \in A, x\) 是孤立点，称\(A\)为孤立集。 2. 若\(A' = \phi,\) 则称\(A\)为离散集。
Proposition: 1. \(A\)为孤立集\(\Leftrightarrow A \cap A' = \phi.\) 2. 离散集一定为孤立集，反之不一定能够成立\(\{1/n\}_{n \ge 1}.\)
定义： 若\(A^\circ \cap B^\circ = \phi,\) 则称\(A, B\)几乎不交。